Da Firenze i matematici olimpionici risolvono la prova della maturità: “Così i problemi sono come un gioco”

Firenze, 20 giugno 2024 – Il suo hobby? La matematica. Se per molti maturandi dello scientifico la seconda prova è l’incubo degli incubi, per lui proprio no. Alberto Cancio Pastor, 19 anni, è un maturando del liceo scientifico Castelnuovo di Firenze ed è anche un membro della squadra di matematica del liceo che, ci spiega, si compone in tutto di nove studenti, tra cui il capitano-allenatore Pietro Zoppetti, anche lui alle prese con l’esame conclusivo, oltre al docente coordinatore, il professor Francesco Parigi. La squadra unisce ragazzi di classi diversi, accomunati dalla grande passione per la matematica, che da loro viene vista proprio come un “divertente gioco”. È da un po’ di anni che il Castelnuovo si distingue all’interno delle varie competizioni matematica, in primis alle Olimpiadi di Matematica. Ogni anno il team migliora le proprie prestazioni. “Quest’anno abbiamo battuto il nostro record, arrivando quindicesimi. È stato il nostro miglior risultato di sempre,” dice con orgoglio Alberto.

Le Olimpiadi della Matematica sono organizzate dall'Unione Matematica Italiana e coinvolgono liceali in competizioni sia individuali che a squadre. “Le competizioni individuali si articolano in tre fasi: una prima gara interna al liceo, poi quelle distrettuali a Firenze, e la finale a Cesenatico. Come squadra, affrontiamo dai 20 ai 24 problemi. È un lavoro di gruppo davvero appassionante”. Proprio come una quadra sportiva, il team matematico si allena ogni settimana, a scuola, di pomeriggio. “Lo facciamo per divertirci - rimarca il giovane -. Capiamo che alcuni possano rimanere un po’ perplessi. Sapessi quanti mi ripetono che non hanno mai capito niente a matematica… Io rispondo sempre che la materia si basa sul saper ragionare. È per questo che ci divertiamo a risolvere i problemi”.

Alberto descrive l’atmosfera durante le competizioni e gli allenamenti settimanali: “Facciamo degli allenamenti a scuola una volta a settimana. Lo facciamo per divertirci, non deve diventare una cosa pesante. Mi ha sempre divertito risolvere i problemi.”

Oltre alla matematica, Alberto ha anche una passione per il disegno, ma è evidente che la prima occupa un posto speciale nel suo cuore. “La mia passione per questa materia è esplosa in terza liceo, grazie al professor Parigi, che mi ha mostrato il suo lato più ricreativo e sperimentale”. La squadra è abitata a risolvere problemi numerici, di geometria, di tipo combinatorio, di teoria dei numeri, ma anche di logica e di algebra. “I miei compagni sono molto fieri di me, perché porto alta la bandiera della scuola”, sorride Alberto, che ci aiuta poi a capire un po’ la prova di matematica della Maturità.

“Come concordano anche i miei compagni, quella di stamani era una prova abbastanza fattibile, composta da due problemi e otto quesiti. Ma bastava risolvere un problema e quattro quesiti”, la premessa. E poi la spiegazione: il primo problema “riguardava l'analisi di una funzione, mentre il secondo si basava sulle proprietà delle radici quadrate”. E ancora: “Il primo chiedeva una dimostrazione su un triangolo rettangolo per dimostrare che era isoscele. Il secondo era un calcolo delle probabilità con una moneta truccata. Il terzo riguardava la geometria analitica nello spazio e il quarto era un’equazione mista che richiedeva di dimostrare l'esistenza di una soluzione unica. Il quinto era la ricerca di un polinomio. Il sesto partiva da un integrale misto, il settimo chiedeva di trovare l'ellisse che descrive la traiettoria della terra intorno al sole e infine l’ottavo chiedeva una dimostrazione di natura geometrica.”

Guardando al futuro, Alberto sa già quale strada vuole seguire: “Dopo? Vorrei studiare matematica e diventare insegnante. La mia passione per questa disciplina è grande e non vedo l'ora di trasmetterla”.

Ecco le soluzioni che ci sono state gentilmente fornite dalla squadra di matematica del liceo Castelnuovo, che si è più volte distinta alle Olimpiadi di Matematica: 

1]

isoscele <=> altezza=1/2 ipotenusa

=>) BH=sin(45)•AB=√2/2•AB

AC=AB•√2 (diagonale quadrato) => BH/AC=½

<=) Possiamo costruire il triangolo rettangolo MHB, con M punto medio di AC. MB mediana relativa all'ipotenusa => MB=AM=CM. Allora MB=BH=> MH=√(MB²-BH²)=0 => H=M. Allora AHB=CHB => AB=AC

2]

a. f(p)=(5 2)•p²•(1-p)³ con (5 2) coeff. binomiale; il dominio è [0,1]

b. Calcolo la derivata; poiché la funzione è polinomiale è continua, come lo sono le sue derivate successive. Allora il massimo deve avere derivata pari a 0. Derivando, trovo che p=0 o p=2/5. Abbiamo che f(0)=f(1)=0, f(2/5)>0. Per teorema di Lagrange, esiste x1 in (0, 2/5) tale che f'(x1)=f(2/5)-f(0)>0. Analogamente, esiste x2 in (2/5, 1) tale che f'(x2)=f(1)-f(2/5)<0. Allora, per il teorema dello zero, poiché non esistono zeri della derivata in (0, 2/5) né in (2/5, 1), il suo segno è costante in tali intervalli, perciò p=2/5 è massimo relativo, in quanto la derivata passa da positiva a negativa. Alternativamente avrei potuto osservare che la derivata seconda è minore di zero in tale punto. Poiché agli estremi dell'intervallo [0,1] la funzione è minore di f(2/5), p=2/5 è massimo assoluto nel dominio.

3]

a. Il vettore normale al piano è (3, -2, 0).

Allora, considero r data da:

x=4+3k

y=2-2k

z=1

Trovo l'intersezione tra r e π, che è proprio H:

3(4+3k)-2(2-2k)+5=0 => 13+13k=0 => k=-1 => H=(1,4,1)

b. Trovo la retta s in forma esplicita: s=(0,1,2)+k(1,1,0)

x=k

y=k+1

z=2

3k-2(k+1)+5=0

k=-3 => P=(-3,-2,2)

4]

x³+x è crescente, vale -2 in -1 e 2 in 1, perciò al di fuori dell'intervallo [-1,1] non ci sono zeri (poiché cosx limitata tra -1 e 1). Inoltre, in tale intervallo, cosx è positiva, perciò f(x)=x³+x-cosx è negativa in [1, 0]. Ora, f(0)=-1, f(1)=2-cos1>0. f(x) è continua e strettamente crescente in [0,1] (poiché somma di x³+x e -cosx, entrambe strettamente crescenti), perciò esiste uno (teorema dello zero) e un solo (strettamente crescente) zero in [0,1]. Dunque, esiste uno e un solo zero in R.

5]

p(x)=a+bx+cx²+dx³+ex⁴

La funzione passa per (0,0), perciò a=0; inoltre, la derivata in tale punto è nulla, dunque anche b=0. La polinomiale si può perciò scrivere come p(x)=cx²+dx³+ex⁴.

A questo punto, rappresentiamo con delle equazioni le condizioni rimanenti:

•⁠ ⁠passa per (1;0): c+d+e=0

•⁠ ⁠passa per (2;-2): 4c+8d+16e=-2

•⁠ ⁠la derivata è nulla in (2;-2): 4c+12d+32e=0

Risolvendo il sistema di equazioni, troviamo facilmente che p(x)=(5/2)x²-(7/2)x³+x⁴

6]

Sostituendo y=1/t, otteniamo F(x)= integrale di -cos(y) da 1/a a 1/x. Allora, F(x)=-sin(1/x)+sin(1/a). Se F(2/π)=-½, sin(1/a)=½ => a=1/(⅙π+2kπ) v a=1/(5π/6+2kπ). Sappiamo che a<2/π, è dunque semplice trovare che il massimo a è a=6/(5π).

7] La soluzione in foto è breve e concisa, inoltre il disegno è essenziale, dunque si faccia riferimento ad essa.

8]

Il raggio del cerchio circoscritto ad un esagono regolare è pari al suo lato. Collegando ogni suo vertice al centro del cerchio, otteniamo 6 triangoli equilateri congruenti. Perciò, l'apotema è pari a r•√3/2, risultato che è compatibile con le misure date. L'ampiezza dell'angolo interno dell'esagono regolare è 120°, che è ⅓ di 360°, perciò il piano è tassellabile. Per poligoni regolari con più di sei lati, l'angolo interno è compreso strettamente tra 120° e 180°, perciò il piano non è tassellabili. Provando per i poligoni con meno di sei lati, si osserva che gli unici che tassellano il piano sono: triangolo, quadrato ed esagono.

Soluzioni estese di 6 ed 8 in foto, soluzione del 7 in foto.